篇一：高中數學必修一集合的含義及其表示教案

第一章 集合與函數概念

1.1集合 1.1.1集合的含義及其表示

（2）初步了解“屬于”關系的意義；

（3）初步了解有限集、無限集、空集的意義；

教學重點：集合的含義與表示方法；

教學難點：運用集合的兩種常用表示方法——列舉法與描述法，正確表示一些簡單的集合。

教學過程：

一、問題引入：

我家有爸爸、媽媽和我；我來自燕山中學；

省溧中高一（1）班；我國的直轄市。

分析、歸納上述各個實例的共同特征，歸納出集合的含義。

二、建構數學：

1．集合的概念：一般地，一定范圍內某些確定的、不同的對象的全體構成一個集合（set）。集合常用大寫的拉丁字母來表示，如集合A、集合B??

集合中的每一個對象稱為該集合的元素（element）,簡稱元。集合的元素常用小寫的拉丁字母來表示。如a、b、c、p、q??

指出下列對象是否構成集合，如果是，指出該集合的元素。

（1）我國的直轄市； （2）省溧中高一（1）班全體學生；（3）較大的數

（4）young 中的字母； （5）大于100的數； （6）小于0的正數。

2．關于集合的元素的特征

（1）確定性：設A是一個給定的集合，x是某一個具體對象，則或者是A的元素，或者不是

A的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立。

（2）互異性：一個給定集合中的元素，指屬于這個集合的互不相同的個體（對象），因此，同

一集合中不應重復出現同一元素。

（3）無序性：一般不考慮元素之間的順序，但在表示數列之類的特殊集合時，通常按照習慣

的由小到大的數軸順序書寫。

3．集合元素與集合的關系用“屬于”和“不屬于”表示；

（1）如果a是集合A的元素，就說a屬于A，記作a∈A

（2）如果a不是集合A的元素，就說a不屬于A，記作a?A （“∈”的開口方向，不能把a∈A 教學目的：（1）初步理解集合的概念，知道常用數集及其記法；

4．有限集、無限集和空集的概念：

5．常用數集的記法：（1）非負整數集（自然數集）N，N??0,1,2,??

（2）正整數集：非負整數集內排除0N*或N+ N*??1,2,3,??

?1，?2，?? （3）整數集Z , Z??0，

（4）有理數集Q ,

?Q??整數與分數

? 的（5）實數集R R??數軸上所有點所對數應

注：（1）自然數集與非負整數集是相同的，也就是說，自然數集包括數 （2）非負整數集內排除0N*或N+ 、Z、R等其它數集內排除0的集，也是這樣表示，例如，整數集內排除0的集，表示成Z*

6．集合的表示方法：集合的表示方法，常用的有列舉法和描述法

（1）列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內。如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，?；各元素之間用逗號分開。

（2）描述法：把集合中的所有元素都具有的性質（滿足的條件）表示出來，寫成{x|p(x)}

的形式。

（3）韋恩（Venn）圖示意

7．兩個集合相等：如果兩個集合所含的元素完全相同，則稱這兩個集合相等。

三、數學運用：

1．例題：

例1．用列舉法和描述法表示方程x2?2x?3?0的解集。

答案：列舉法：{?1,3}描述法：{x|x?x2?2x?3,x?R}

例2．下列各式中錯誤的是 （ ）

（1）{奇數}={x|x?2k?1,k?Z} （2）{x|x?N*,|x|?5}?{1,2,3,4}

?x?y?1（3）{(x,y)|?} ?{(2,?1),(?1,2)}（4）?3?3?N ?xy??2

答案：（4）

例3.求不等式2x?3?5的解集

答案：{x|x?4,x?R}

例4.求方程2x2?x?1?0的所有實數解的集合。

答案：?

例5．已知M?{2,a,b},N?{2a,2,b2}，且M?N，求a,b的值

11答案：a?0,b?1或a?,b? 42

例6．已知集合A??xax2?2x?1?0,x?R?，若集合A中至多有一個元素，求實數a的((來自于:www.hN1C.coM 唯才 教育 網:高一數學必修1集合教案)取值范

圍．

【思路分析】本題主要考查元素與集合之間的關系，以及集合的表示法．由描述法可知集合A

是關于x的方程ax2?2x?1?0的實數解集，首先考慮方程是不是一元二次方程．

1解：當a?0時，方程只有一個根?，則a?0符合題意； 2

當a?0時，則關于x的方程ax2?2x?1?0是一元二次方程，由于集合A中至多有一個元素，則一元二次方程ax2?2x?1?0有兩個相等的實數根或沒有實數根，所以△＝4?4a?0，解得a??1．

綜上所得，實數a的取值范圍是?aa?0或a??1?． 答案：aa?0或a??1

2．練習： ??

（1）請學生各舉一例有限集、無限集、空集。

（2）用列舉法表示下列集合：

① {x|x是15的正約數} ②{(x,y)|x?{1,2},y?{1,2}}

③{(x,y)|x?y?2,x?2y?4}④ {x|x?(?1)n,n?N}

*⑤{(x,y)|3x?2y?16,x?N,y?N}

82答案：①{1,3,5,15}②{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}③{(,?)}④{?1,1}⑤{(2,5),(4,2)} 33

（3）用描述法表示下列集合：

①{1,4,7,10,13}；②{?2,?4,?6,?8,?10}

答案：①{x|x?1?3k,k?1,2,3,4}②{x|x??2k,k?1,2,3,4,5}

四、課堂練習

1． 下列說法正確的是( )

A.?1,2?,?2,1?是兩個集合 B.?(0,2)?中有兩個元素

Ｃ.?x?Q|?

?6??N?是有限集 Ｄ.?x?Q|且x2?x?2?0?是空集 x?

２.將集合?x|?3?x?3且x?N?用列舉法表示正確的是( )

Ａ.??3,?2,?1,0,1,2,3? Ｂ.??2,?1,0,1,2?

Ｃ.?0,1,2,3? Ｄ.?1,2,3?

３.

R,0.3?Q,0?N?,0??0?其中正確的個數是( )

Ａ.１個Ｂ.２個Ｃ.３個Ｄ.４個

?x?y?2４.方程組?的解集用列舉法表示為＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. x?y?5?

2５.已知集合Ａ＝0,1,x?x則x在實數范圍內不能取哪些值＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. ??

６.(創新題)已知集合S??a,b,c?中的三個元素是?ABC的三邊長,那么?ABC一定不是

( )

Ａ.銳角三角形 Ｂ.直角三角形 Ｃ.鈍角三角形Ｄ.等腰三角形

五、回顧小結：

1．集合的有關概念

2．集合的表示方法

3．常用數集的記法

六、課外作業：

一、選擇題

1.下列元素與集合的關系中正確的是() 1A.?N B.2?{x?R|x≥} 2C.|-3|?N*D.-3.2?Q

2.給出下列四個命題：

(1)很小的實數可以構成集合；

(2)集合{y|y=x2-1}與集合{(x,y)|y=x2-1}是同一個集合； (3)1,361,,?,0.5這些數字組成的集合有5個元素； 242

(4)集合{(x,y)|xy≤0,x,y?R}是指第二象限或第四象限內的點的集合.

以上命題中,正確命題的個數是()

A.0 B.1 C.2 D.3

3.下列集合中表示同一集合的是()

A.M={(3,2)},N={(2,3)}

B.M={3,2},N={(2,3)}

C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}

D.M={1,2},N={2,1}

4.已知x?N,則方程x2?x?2?0的解集為()

A.{x|x=-2} B. {x|x=1或x=-2} C. {x|x=1} D.?

5.已知集合M={m?N|8-m?N},則集合M中元素個數是()

A.6

二、填空題

6.用符號“?”或“?”填空：

0_______N,______N,______N.

7.用列舉法表示A={y|y=x2+1,-2≤x≤2,x?Z}為_______________.

8.用描述法表示集合“方程x2-2x+3=0的解集”為_____________.

9.集合{x|x>3}與集合{t|t>3}是否表示同一集合？________

10.已知集合P={x|2<x<a,x?N},已知集合P中恰有3個元素,則整數a=_________.

三、解答題

11.已知集合A={0,1,2},集合B={x|x=ab,a?A,b?A}.

(1)用列舉法寫出集合B；

(2)判斷集合B的元素和集合A的關系.

12.已知集合{1,a,b}與{-1,-b,1}是同一集合,求實數a、b的值.

13.(探究題)下面三個集合：①?x|y?x2?2?,②?y|y?x2?2?,③?(x,y)|y?x2?2?

(1)它們是不是相同的集合？

(2)試用文字語言敘述各集合的含義.

第一章集合與函數的概念

1.1.1集合的含義與表示

【課堂練習】 B.7 C.8D.9

篇二：人教版高中數學必修1集合教案

1.1.1集合

教學目標: 1、理解集合的概念和性質.

2、了解元素與集合的表示方法.

3、熟記有關數集.

4、培養學生認識事物的能力.

教學重點: 集合概念、性質

教學難點: 集合概念的理解

教學過程:

1、 定義：

集合：一般地，某些指定的對象集在一起就成為一個集合（集）. 元素：集合中每個對象叫做這個集合的元素.

由此上述例中集合的元素是什么？

例（1）的元素為1、3、5、7，

例（2）的元素為到兩定點距離等于兩定點間距離的點，

例（3）的元素為滿足不等式3x-2> x+3的實數x，

例（4）的元素為所有直角三角形，

例（5）為高一·六班全體男同學.

一般用大括號表示集合，{ ? }如{我校的籃球隊員}，{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}。則上幾例可表示為??

為方便，常用大寫的拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員} ，B={1，2，3，4，5}

2

（1）確定性；（2）互異性；（3）無序性.

3、元素與集合的關系：隸屬關系

元素與集合的關系有“屬于∈”及“不屬于?（? 也可表示為）兩種。 如A={2，4，8，16}，則4∈A，8∈A，32 ? A.

集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就說a屬于集A 記作 a?A ，相反，a不屬于集A 記作 a?A （或）

注：1、集合通常用大寫的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q??

元素通常用小寫的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q??

2、“∈”的開口方向，不能把a∈A顛倒過來寫。

4

注：（1）自然數集與非負整數集是相同的，也就是說，自然數集包括數0。

（2）非負整數集內排除0的集。記作N*或N+ 。Q、Z、R等其它數集內排除0

的集，也是這樣表示，例如，整數集內排除0的集，表示成Z*

請回答：已知a+b+c=m，A={x|ax2+bx+c=m}，判斷1與A的關系。

1.1.2 集合間的基本關系

教學目標：1.理解子集、真子集概念；

2.會判斷和證明兩個集合包含關系；

3.理解“? ”、“?”的含義； ≠

4.會判斷簡單集合的相等關系；

5.滲透問題相對的觀點。

教學重點：子集的概念、真子集的概念

教學難點：元素與子集、屬于與包含間區別、描述法給定集合的運算 教學過程：

觀察下面幾組集合，集合A與集合B具有什么關系？

(1) A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}.

(2) A={x|x>3},B={x|3x-6>0}.

(3) A={正方形}，B={四邊形}.

(4) A=?，B={0}.

（5）A={銀川九中高一（11）班的女生}，B={銀川九中高一（11）班的學生}。

1.子集

定義：一般地，對于兩個集合A與B，如果集合A中的任何一個元素都是集合B的元素，我們就說集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，記作A?B（或B?A）,即若任意x?A,有x?B，則A?B(或A?B)。

這時我們也說集合A是集合B的子集（subset）。

如果集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A,就記作A?B（或B?A），即:若存在x?A,有x?B，則A?B(或B?A)

說明：A?B與B?A是同義的，而A?B與B?A是互逆的。

規定:空集?是任何集合的子集，即對于任意一個集合A都有??A。

（2）除去?與A本身外，集合A的其它子集與集合A的關系如何？

3.真子集：

由“包含”與“相等”的關系，可有如下結論：

(1)A?A (任何集合都是其自身的子集)；

(2)若A?B，而且A?B（即B中至少有一個元素不在A中），則稱集合A是集合B的真子集（proper subset），記作A≠ B。（空集是任何非空集合的真

子集）

(3)對于集合A，B，C，若A?B，B?C，即可得出A?C；對A? B，B? C，同樣≠≠

?有A≠ C, 即：包含關系具有“傳遞性”。

4.證明集合相等的方法：

?

（1） 證明集合A，B中的元素完全相同；（具體數據）

（2） 分別證明A?B和B?A即可。（抽象情況）

對于集合A，B，若A?B而且B?A，則A=B。

1.1.3集合的基本運算

教學目的：（1）理解兩個集合的并集與交集的的含義，會求兩個簡單集合的并

集與交集；

（2）理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補

集；

（3）能用Venn圖表達集合的關系及運算，體會直觀圖示對理解抽

象概念的作用。

教學重點：集合的交集與并集、補集的概念；

教學難點：集合的交集與并集、補集“是什么”，“為什么”，“怎樣做”；

【知識點】

1. 并集

一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集（Union）

記作：A∪B讀作：“A并B”

即： A∪B={x|x∈A，或x∈B}

Venn圖表示：

A與B的所有元素來表示。 A與B的交集。

2. 交集

一般地，由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集（intersection）。

記作：A∩B 讀作：“A交B”

即： A∩B={x|∈A，且x∈B}

交集的Venn圖表示

說明：兩個集合求交集，結果還是一個集合，是由集合A與B的公共元素組成的集合。

拓展：求下列各圖中集合A與B的并集與交集

A

說明：當兩個集合沒有公共元素時，兩個集合的交集是空集，不能說兩個集合沒有交集

3. 補集

全集：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集（Universe），通常記作U。

補集：對于全集U的一個子集A，由全集U中所有不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集（complementary set）,簡稱為集合A的補集，

記作：CUA

即：CUA={x|x∈U且x∈A}

篇三：高一數學必修一教案

課題： 1.1 集合

教材分析：集合概念及其基本理論，稱為集合論，是近、現代數學的一個重要的基礎，一方

面，許多重要的數學分支，都建立在集合理論的基礎上。另一方面，集合論及其所

反映的數學思想，在越來越廣泛的領域種得到應用。

課 型：新授課

教學目標：（1）通過實例，了解集合的含義，體會元素與集合的理解集合“屬于”關系；

（2）能選擇自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具體

問題，感受集合語言的意義和作用；

教學重點：集合的基本概念與表示方法；

教學難點：運用集合的兩種常用表示方法——列舉法與描述法，正確表示一些簡單的集合； 教學過程：

一、 引入課題

軍訓前學校通知：8月15日8點，高一年段在體育館集合進行軍訓動員；試問這個通知的對象是全體的高一學生還是個別學生？

在這里，集合是我們常用的一個詞語，我們感興趣的是問題中某些特定（是高一而不是高二、高三）對象的總體，而不是個別的對象，為此，我們將學習一個新的概念——集合（宣布課題），即是一些研究對象的總體。

二、 新課教學

（一）集合的有關概念

1. 集合理論創始人康托爾稱集合為一些確定的、不同的東西的全體，人們能意識到這

些東西，并且能判斷一個給定的東西是否屬于這個總體。

2. 一般地，研究對象統稱為元素（element），一些元素組成的總體叫集合（set），也簡

稱集。

3. 關于集合的元素的特征

（1）確定性：設A是一個給定的集合，x是某一個具體對象，則或者是A的元素，或者不是A的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立。

（2）互異性：一個給定集合中的元素，指屬于這個集合的互不相同的個體（對象），因此，同一集合中不應重復出現同一元素。

（3）集合相等：構成兩個集合的元素完全一樣

4. 元素與集合的關系；

（1）如果a是集合A的元素，就說a屬于（belong to）A，記作a∈A

（2）如果a不是集合A的元素，就說a不屬于（not belong to）A，記作a?A（或a A）

5. 常用數集及其記法

非負整數集（或自然數集），記作N

正整數集，記作N*或N+；

整數集，記作Z

有理數集，記作Q

實數集，記作R

（二）集合的表示方法

我們可以用自然語言來描述一個集合，但這將給我們帶來很多不便，除此之外還常用列舉法和描述法來表示集合。

（1） 列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內。

如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，?；

思考2，引入描述法

說明：集合中的元素具有無序性，所以用列舉法表示集合時不必考慮元素的順序。

（2） 描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號{}內。

具體方法：在大括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征。

如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{直角三角形}，?；

強調：描述法表示集合應注意集合的代表元素

{(x,y)|y= x2+3x+2}與 {y|y= x2+3x+2}不同，只要不引起誤解，集合的代表元素也可省略，例如：{整數}，即代表整數集Z。

辨析：這里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必寫{全體整數}。下列寫法{實數集}，{R}也是錯誤的。

說明：列舉法與描述法各有優點，應該根據具體問題確定采用哪種表示法，要注意，一般集合中元素較多或有無限個元素時，不宜采用列舉法。

三、 歸納小結

本節課從實例入手，非常自然貼切地引出集合與集合的概念，并且結合實例對集合的概念作了說明，然后介紹了集合的常用表示方法，包括列舉法、描述法。

課題: 1.2集合間的基本關系

教材分析：類比實數的大小關系引入集合的包含與相等關系

了解空集的含義

課 型：新授課

教學目的：（1）了解集合之間的包含、相等關系的含義；

（2）理解子集、真子集的概念；

（3）能利用Venn圖表達集合間的關系；

（4）了解與空集的含義。

教學重點：子集與空集的概念；用Venn圖表達集合間的關系。

教學難點：弄清元素與子集 、屬于與包含之間的區別；

教學過程：

四、 引入課題

1、 復習元素與集合的關系——屬于與不屬于的關系，填以下空白：

（1）0 N；（2

；（3）-1.5 R

2、 類比實數的大小關系，如5<7，2≤2，試想集合間是否有類似的“大小”關系呢？（宣

布課題）

五、 新課教學

A={1，2，3}，B={1，2，3，4}

集合A是集合B的部分元素構成的集合，我們說集合B包含集合A；

如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們說這兩個集合有包含關系，稱集合A是集合B的子集（subset）。

記作：A?B(或B?A)

讀作：A包含于（is contained in）B，或B包含（contains）A （一） 集合與集合之間的“包含”關系；

當集合A不包含于集合B時，記作

B

用Venn圖表示兩個集合間的“包含”關系 A?B(或B?A)

（二） 集合與集合之間的 “相等”關系；

A?B且B?A，則A?B中的元素是一樣的，因此A?B

?A?B即 A?B?? B?A?

結論：

任何一個集合是它本身的子集

（三） 真子集的概念

若集合A?B，存在元素x?B且x?A，則稱集合A是集合B的真子集（proper subset）。

記作：A B（或B A）

讀作：A真包含于B（或B真包含A）

（四） 空集的概念

（實例引入空集概念）

不含有任何元素的集合稱為空集（empty set），記作：? 規定： 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

（五） 結論：

1A?A ○2A?B，且B?C，則A?C ○

（六） 例題

（1）寫出集合{a，b}的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。

（2）化簡集合A={x|x-3>2},B={x|x?5}，并表示A、B的關系；

（七） 歸納小結，強化思想

兩個集合之間的基本關系只有“包含”與“相等”兩種，可類比兩個實數間的大小關系，同時還要注意區別“屬于”與“包含”兩種關系及其表示方法；

1 已知集合A?{x|a?x?5}，B?{x|x≥2}，且滿足A?B，求實數a的○

取值范圍。

2 設集合A?{○四邊形}，B?{平行四邊形}，C?{矩形}，

D?{正方形}，試用Venn圖表示它們之間的關系。

課題： 1.3集合的基本運算

教學目的：（1）理解兩個集合的并集與交集的的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集；

（2）理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集；（3）能用Venn圖表達集合的關系及運算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用。

課 型：新授課

教學重點：集合的交集與并集、補集的概念；

教學難點：集合的交集與并集、補集“是什么”，“為什么”，“怎樣做”；

教學過程：

六、 引入課題

我們兩個實數除了可以比較大小外，還可以進行加法運算，類比實數的加法運算，兩個集合是否也可以“相加”呢？

思考（P9思考題），引入并集概念。

七、 新課教學

1. 并集

一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集（Union）

記作：A∪B

Venn圖表示： 讀作：“A并B” 即： A∪B={x|x∈A，或x∈B}