微分中值定理是微分學應用的理論基礎。是研究函數的有力工具，其中最重要的內容是拉格朗日定理，可以說其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情況或推廣。能熟練的應用中值定理確實是一件不易的事,尤其是輔助函數的引入，更是變化多樣。下文給出微分中值定理在一些證明題中的巧用。

一、微分中值定理的主要應用

1. 證明等式；2. 證明恒等式；3. 證明不等式； 4. 討論方程實根（或函數零點）的存在性。

二、掌握微分中值定理應用方法的關鍵

——在分析解題思路時，必須緊緊抓住 “定理”、“函數”、“區間”三要素

“定理” ——適用定理的選擇

“函數” ——輔助函數的構造

“區間” ——討論區間的確定。

三、運用中值定理證明關于兩個中間點等式的方法

方法一：構造輔助函數，在兩個不同區間上運用拉格朗日定理或柯西定理，再將定理結論作某種運算。

方法二：構造兩個輔助函數，在同一個區間上運用拉格朗日定理或柯西定理，再將定理結論作某種運算。

方法三：構造兩個輔助函數，在兩個不同區間上運用拉格朗日定理或柯西定理，再將定理結論作某種運算。

微分中值定理證明試題范例

設函數f(x)在區間[0,1]上連續,在(0,1)內可導,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1.試證: (1)存在η∈(1/2,1),使f(η)=η; (2)對任意實數λ,必存在ξ∈(0,η),使得f'(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]1 第二問最后少打了等號，應該是f'(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1

(1)證明：由介值定理知，至少存在一點ζ∈(0, 1/2), 使f(ξ)=1/2再由介值定理知，至少存在一點η∈(ζ,1),即存在η∈(1/2,1),使f(η)=η

(2) 證明：構造函數F(x)=e^(-λx)[f(x)-x]則F(x)在區間[0,1]上連續,在(0,1)內可導F(η)=0, F(0)=0∴由羅爾定理知，必存在ξ∈(0,η), 使F'(ξ)=0即-λe^(-λξ)[f(ξ)-ξ]+e^(-λξ)[f'(ξ)-1]=0∴f'(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1